Om berichten te kunnen beantwooren moet je geregistreerd en aangemeld zijn.
Hey iedereen,
Ik ben bezig met algebraïsche structuren, en ik botste op een probleem.
Ik moet bewijzen dat Z, *, & een ring is.
De bewerking * wordt gedefinieerd: a * b = a + b - 3 ( + de gewone optelbewerking in Z, +)
De bewerking & wordt gedefinieerd: a & b = ab - 3a - 3b + 12
Het eerste dat ik moet bewijzen is dat Z, * een commutatieve groep is. Hiervoor moet je bewijzen dat
er een neutraal element bestaat waarvoor geldt: a * n = a
Ik weet dat n = 3, alleen weet ik niet hoe je dat moet bewijzen.
Iemand ideëen?
Alvast bedankt,
hannesvdc
Volgens mij mag je gewoon het volgende doen om te bewijzen dat Z een commutatieve groep is:
Voor alle a, n element van Z geldt:
1) a*n= a + n - 3
Voor alle a element van Z en n neutraal element van Z geldt:
2) a*n= a
Uit 1) en 2) volgt
=> a + n - 3 = a
=> n - 3 = a - a (als we er tenminste mogen van uitgaan dat - de gewone aftrekbewerking is)
=> n - 3 = 0
=> n = 3
Aangezien je van twee lineaire vergelijkingen vertrekt is er maar één oplossing.
Dus is 3 het neutraal element.
Je bewijs is niet helemaal correct: je hebt enkel beredeneerd waarom alleen n = 3 het neutraal element zou kunnen zijn. "Uit ... volgt" geeft geen garantie dat 3 neutraal is voor de *-bewerking. Ik vermoed dat Hannes ook op deze manier gekomen is tot de (beredeneerde) gok dat het zo is.
Eens je gegokt hebt dat n = 3, is het bewijs heel eenvoudig: "Merk op dat a*3 = a+3-3 = a voor alle gehele a, dus 3 is een neutraal element voor de *-bewerking." Dat is voldoende, je hoeft zelfs niet te bewijzen dat dit uniek is ofzo. (Het zal wel altijd uniek zijn, omdat Z,* anders geen groep is.)
Merk trouwens op dat a&3 = 3 voor alle a in Z. Verder is ook a*b = (a-3)+(b-3)+3 en a&b = (a-3)(b-3)+3, dus deze bewerkingen zijn in zekere zin een "translatie" van de gewoonlijke bewerkingen op Z: trek eerst 3 af van de elementen waar je de bewerking op wilt toepassen, pas dan de gewone bewerking toe, en tel er terug 3 bij op. Dat bij beide translaties een 3 voorkomt, is belangrijk!
Om berichten te kunnen beantwooren moet je geregistreerd en aangemeld zijn.