Forum: een limietje berekenen

Naar forum 'Algemeen'

Om berichten te kunnen beantwooren moet je geregistreerd en aangemeld zijn.

  • een limietje berekenen
  • Auteur: Steven V
    4-6-2010 om 20:28

    heeft iemand een idee hoe dit te bewijzen valt:

     

    de limiet van n tot + oneindig van (x^(n+1))/((n+1)(1-a)^(n+1)) = 0

     

    waarbij 0 < a < 1 en -a < x < 0

     

    Weet niet hoe ik er moet aan beginnen..

     

    grtz

  • Auteur: Stijn C
    4-6-2010 om 21:55
    1 keer bewerkt (laatst: 4-6-2010 om 21:59 door Stijn C)

    Ik veronderstel dat je

    LaTeX: \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{x^{n+1}}{[(n+1)(1-a)]^{n+1}} = 0 bedoelt,

     

    LaTeX: \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{x^{n+1}}{(n+1)(1-a)^{n+1}} zou je anders kunnen invullen

    met LaTeX: a=0.99 en LaTeX: x=-0.98, waarna dit overeenkomt met

    LaTeX: \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{(-98)^{n+1}}{n+1}=\pm\infty.

     

    We kunnen de vraag dus schrijven als LaTeX: \lim_{n\rightarrow\infty}[\frac{x}{(n+1)(1-a)}]^{n+1}} ,

    het voldoet dan te bewijzen dat LaTeX: \lim_{n\rightarrow\infty}|\frac{x}{(n+1)(1-a)}|<1,

    we weten dat LaTeX: \lim_{n\rightarrow\infty}n+1>\frac{1}{1-a}

    voor iedere reële waaarde LaTeX: a \in ]0,1[ die je invult.

     

    zodat het gevraagde wel degelijk bewezen is, volgens mij, want LaTeX: |x|<1.

  • Auteur: Steven V
    6-6-2010 om 20:56

    Dag Stijn,

     

    toch is het de uitdrukking die ik gegeven heb die berekend moet worden. Die limiet komt voor in de berekening van de Restterm bij de reeksontwikkeling van ln(x+1).

     

    We moeten bewijzen dat de limiet van n naar plus oneindig van R(x) gelijk is aan 0 als

     

    voor alle x, waarvoor geldt -1<x<1, geldt: ln(1+x)= x-(x^2/2)+(x^3/3)-(x^4/4)+...+(((-1)^(n-1) x^n)/n) + R(x)

  • Auteur: Stijn C
    8-6-2010 om 20:23
    1 keer bewerkt (laatst: 8-6-2010 om 20:24 door Stijn C)

    dag Steven,

     

    LaTeX: R(x)= \frac{(-1)^n \cdot x^{n+1}}{n+1} + \frac{(-1)^{n+1} \cdot x^{n+2}}{n+2}+ \frac{(-1)^{n+2}\cdot x^{n+3}}{n+3}+...,

    voor positieve getallen LaTeX: x heb je waarschijnlijk het al bewezen uit het feit

    dat iedere term in absolute waarde groter is dan de volgende, dan is het dus

    voldoende te bewijzen dat de 1e term een limiet voor LaTeX: n \rightarrow \infty naar 0 heeft,

    wat zeer simpel was.

     

    Als LaTeX: -1<x<0 zoals in je oorspronkelijke vraag, dan heeft iedere term uit LaTeX: R(x) hetzelfde teken,

    wat ook duidelijk is

    (teller wordt vermenigvuldigt met LaTeX: -x(wat = positief) en noemer blijft positief)

     

    We berekenen in dit geval LaTeX: |R(x)| waarbij we schrijven dat LaTeX: -x=y:

    LaTeX: |R(x)|=\left|\frac{(-1)^n \cdot x^{n+1}}{n+1} + \frac{(-1)^{n+1} \cdot x^{n+2}}{n+2}+ \frac{(-1)^{n+2}\cdot x^{n+3}}{n+3}+...\right|

                 LaTeX: =\frac{y^{n+1}}{n+1}+\frac{y^{n+2}}{n+2}+...

                 LaTeX: < \frac{y^{n+1}}{n+1}+\frac{y^{n+2}}{n+1}+\frac{y^{n+3}}{n+1}+...

                 LaTeX: =\frac{y^{n+1}+y^{n+2}+y^{n+3}+...}{n+1}

                 LaTeX: =\frac{y^{n+1}\cdot\frac{1}{1-y}}{n+1}

                 LaTeX: =\frac{y^{n+1}}{(n+1)(1-y)}

     

    Wat je in jouw oorspronkelijke limiet bedoelde was dus wrs LaTeX: \pm

    LaTeX: lim_{n\rightarrow \infty} \frac{x^{n+1}}{(n+1)(1-a)}=0

    , want indien je in de noemer een machtverheffing van (1-a) deed, zijn er talloze tegenvoorbeelden.

     

     

    LaTeX: lim_{n\rightarrow \infty} \frac{y^{n+1}}{(n+1)(1-y)} met LaTeX: y\in]0,1[,

    terug is voor iedere y die we kiezen uit het interval LaTeX: lim_{n \rightarrow\infty}>\frac{1}{1-y}

    en is LaTeX: lim_{n \rightarrow \infty}y^{n+1}=0

    Deze 2 delen leveren dat LaTeX: |R(x)| een limiet naar 0 heeft voor LaTeX: n \rightarrow \infty.

Naar forum 'Algemeen'

Om berichten te kunnen beantwooren moet je geregistreerd en aangemeld zijn.