Forum: Moeilijk vraagje ruimtemeetkunde (vectoren)

Naar forum 'Andere wiskunde'

Om berichten te kunnen beantwooren moet je geregistreerd en aangemeld zijn.

  • Moeilijk vraagje ruimtemeetkunde (vectoren)
  • Auteur: Martijn
    29-5-2010 om 17:49

    Gegeven: A(2,1,2) en B(-3,0,4)

     

    Bepaal een vector C zodat OC een deellijn is van hoek AÔB.

    De oplossing is C(1,5,22)

     

    Ik heb dit zo opgelost: De eenheidsvectoren van A en B gezocht: Ea(2/3;1/3;2/3) en Eb(-3/5;0;4/5) Dan heb ik hier gewoon het midden van genomen (optellen en delen door 2). Dit geeft ons voor C(1/30;1/6;11/15) Vermenigvuldigen met 30 geeft ons dan de uitkomst C(1;5;22)

     

    Maar nu is het probleem dat dit een hele simpele snelle oplossing is. En mijn wiskundeleerkracht zei dat dit een heel moeilijke vraag was die de leerlingen normaal niet kunnen oplossen. Hij was dan ook zeer verbaasd. Hij had namelijk een moeilijkere, eventueel nauwkeurigere, oplossing in gedachte. Hij wou werken met het gegeve: hoek AÔC = BÔC.

     

    Nu is dus mijn vraag of iemand een andere, moeilijkere, oplossing kan verzinnen. Eventueel met gebruik te maken van de hoeken die gelijk zijn (dit moet niet per se). Mijn leerkracht overtuigde mij ervan dat ik al de leerstof die we gezien hadden van ruimtemeetkunde nodig had.

     

    Veel succes en alvast bedankt!

  • Auteur: Jeroen T
    30-5-2010 om 12:51

    Eerst en vooral: goed gedaan!

    Ik vind het altijd geweldig als leraars overtroffen worden de leerlingen.

     

    Dit is een langere oplossing maar maakt nog steeds geen rechtstreeks gebruik van AÔC = BÔC.

     

    We beschouwen driehoek OAB in vlak AOB.

    Dan is |AO|=3, |BO|=5 en |AB|= LaTeX: \sqrt{5^2+1^2+2^2}= LaTeX: \sqrt{30}

    Als x de afstand is van B tot C dan geldt volgens de bisectricestelling:

    3 * X = 5 * (LaTeX: \sqrt{30} - X )

    => 8X=5LaTeX: \sqrt{30}

    => X= 5LaTeX: \sqrt{30}/8

     

    Als we nu terug in 3 dimensies gaan kijken naar alle punten rond B die op deze afstand liggen verkrijgen we de vergelijking van een bol:

     

    (x+3)^2 + y^2 + (z-4)^2= 25*30/64

    Als we nu het snijpunt willen zoeken met zijde AB van de driehoek OAB dan stellen we eerts de vergelijking van deze rechte op:

    (xyz)<->(-3,0,4) + k*( 2-(-3), 1-0, 2-4 )= (-3,0,4)+k(5,1,-2)

    Nu gaan we invullen in de vergelijking van de bol:

    (-3+5k+3)^2+k^2+(4-2z-4)^2= 25*30/64

    Merk op dat de constanten steeds wegvallen omdat de bol ook is opgesteld aan de hand van punt B.

    <=> 25k^2+k^2+2k^2 = 25*30/64

    <=> 30k^2 = 30*25/64

    <=> k^2 = 25/64

    <=> k = 5/8

     

    Dus nu vullen we k in in de vergelijking van de rechte AB.

     

    x= -3 + 5/8*5 = 1/8

    y= 0 + 5/8*1  = 5/ 8

    z= 4 + 5/8*-2 = 22/8

     

    Dus is het snijpunt tussen de deelijn OC en zijde AB (1/8, 5/8, 22/8)

    of als vector iets netter te schrijven als (1,5,22).

  • Auteur: Martijn
    30-5-2010 om 16:10

    Ik heb goed nieuws en beter nieuws:

     

    Het goede nieuws is dat ik alles snap en dat we ook leerstof over de bol gezien hebben. En het betere nieuws is dat mijn leerkracht zeer blij en verbaasd gaat zijn met deze oplossing.

     

    Fel bedankt!

Naar forum 'Andere wiskunde'

Om berichten te kunnen beantwooren moet je geregistreerd en aangemeld zijn.