Forum: VWO/JWO r2, vraag 19  (veelvlak in kubus)

Naar forum 'VWO 2010'

Om berichten te kunnen beantwooren moet je geregistreerd en aangemeld zijn.

  • VWO/JWO r2, vraag 19  (veelvlak in kubus)
  • Auteur: Tomas
    7-3-2010 om 17:30
    1 keer bewerkt (laatst: 11-3-2010 om 23:05 door Stijn)

    In de kubus A'B'C'D'ABCD met ribbe 1 beschouwen we de regelmatige viervlakken ACB'D' en BDA'C' ( zie figuur ). De unie van deze 2 viervlakken is een nieuw, niet convex, veelvlak V. Het volume van dat veelvlak V is gelijk aan:

     

    A) LaTeX: \frac{1}{3} B) LaTeX: \frac{1}{2} C) A) LaTeX: \frac{\sqrt{3}}{3} D) LaTeX: \frac{3}{4} E) LaTeX: \frac{5}{6}

     

    Ik krijg deze maar niet opgelost... Iemand ?

  • Auteur: Annelies
    7-3-2010 om 20:37

    ik heb eerst gewoon eens aan piramidetelling gedaan en dan kwam ik 1/2 uit daarna ben ik raar beginnen doen en dan kwam ik fout uit..

  • Auteur: Tomas
    10-3-2010 om 22:21

    Iemand ? Freddy jij had toch alle antwoorden juist ?

  • Auteur: freddy
    11-3-2010 om 09:29

    Ja dat is nu toevallig dat je dat vraagt,  die had ik moeten open laten!

    ik heb nu maar 146, jammer!

    ik hoop dat de cesuur onder 147 ligt!

     

    Maar ik heb het thuis kunnen oplossen met een inductiebewijs ahv modulorekenen.

     

    Tot in de finale ?

  • Auteur: Jeroen T
    11-3-2010 om 21:28

    Ja Freddy we zijn ervan overtuigd dat je kans maakt op een finaleplaats.

     

    Voor de vraag zelf, het is een finalevraag uit 1994, dus geen schande als je deze niet kon.

    Het lijkt op het eerste zicht een ingewikkelde berekening vol wortels te worden.

    Als je het echter op de juiste manier benadert, komt er zelfs geen wortelteken in het antwoord voor.

     

     

    De unie van de twee veelvlakken is de som van hun volumes min het volume van de overlapping.

    Gemakkelijker is echter het omgekeerde te doen: alles wat niet binnen de veelvlakken ligt aftrekken van het volume van de kubus (van 1 dus).

     

    Aan de hand van de tekening:

    Noem E het snijpunt van AB' en A'B (het midden van het frontale vlak dus)

    Noem F het middelpunt van het grondvlak.

    ABEF is een onregelmatig viervlak (een soort pyramide), de formule voor het volume is dus:

    1/3 grondvlak * hoogte

    Het grondvlak is duidelijk 1/4 van het grondvlak van de kubus, dat 1 is.

    De hoogte is gewoon de helft van de ribbe, die 1 is.

     

    Dus krijgen we 1/3 * 1/4 * 1/2 = 1/24

     

    Het is duidelijk dat de "lege" ruimte binnen de kubus bestaat uit viervlakken congruent aan ABEF.

    Even tellen: 4 aan het grondvlak, 4 aan het boven vlak en nog eens één voor elk van de vier opstaande ribben. dat geeft een totaal van 12.

     

    De "lege" ruimte binnen de kubus is dus 12*1/24 = 1/2

    1-1/2 geeft ons voor de unie van de twee viervlakken een volume van 1/2.

     

    Antwoord B!

  • Auteur: Tomas
    11-3-2010 om 22:08
    1 keer bewerkt (laatst: 11-3-2010 om 22:13 door Tomas)

    Ok bedankt Jeroen!

     

    Ik heb net een andere oplossing gevonden:

     

    De kleine piramides hebben een inhoud die 1/8 is van de grote omdat elke zijde met factor 1/2 verkort wordt. De inhoud van een kleintje is dus 1/8*1/3=1/24

     

    De unie bestaat dus uit 1 grote met inhoud 1/3 en 4 kleintjes met inhoud 1/24 dus 8/24 + 4/24 = 12/24 = 1/2

Naar forum 'VWO 2010'

Om berichten te kunnen beantwooren moet je geregistreerd en aangemeld zijn.